Chyby nepřímých měření

    Dosud uvedené chyby se týkaly vyhodnocení přímého měření. To znamená, že se vyčíslují meze odchylek naměřených hodnot konkrétními měřicími přístroji. V praxi se běžně stává, že nelze určitou elektrickou veličinu změřit přímo. Většinou proto, že dostupné měřicí přístroje požadované měření neumožňují, tzn. nemají potřebné rozsahy. Je tedy nutné hodnotu požadované veličiny dopočítat z údajů, které přímým měřením lze získat.

Nejčastěji dochází ke stavu, že ze dvou přímo měřených veličin dopočítáme třetí.

Příklad 1: použití volt – ampérové metody pro výpočet výkonové ztráty na rezistoru.

Přímým měřením zjistíme hodnotu napětí U a proudu I.

Vypočteme hodnotu výkonu: P = U • I

Výslednou chybu odvodíme z chyb přímo změřených veličin.

    Protože obě veličiny jsou udány ve svých jednotkách, nelze jednoduše sečíst absolutní chyby. V tomto případě sečteme relativní chyby naměřených hodnot. Postup při výpočtu si můžeme ukázat uvedeném obvodu. Jako přístroje MP1 a MP2 jsou zapojené běžné multimetry DMM 3800.
Byly naměřeny hodnoty: I = 125,4 mA, U = 15,56 V.

Výpočet výkonu: P = U • I = 15,56 • 0,1254 = 1,95 W

Výrobce pro tyto přístroje udává:
DC napětí
Rozsah Chyba Rozlišení
200mV +/- 0,5% of rdg +/- 1 digit 100µV
2V 1mV
20V 10mV
200V 100mV
1000V 1V
DC proud
Rozsah Chyba Rozlišení
200ľA +/- 0,5% of rdg +/- 1 digit 0,1 µA
2mA 1 µA
20mA 10 µA
200mA +/- 1,2% of rdg +/- 1 digit 100 µA
2A +/- 2% of rdg +/- 5digit 1 mA

Vypočteme relativní chyby měření napětí a proudu:

Chyba ampérmetru MP1 ( rozsah 200 mA ):

δ1 = +/- 1,2 %

              udaný počet digitů posledního místa displeje                           1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
               celkový počet ( maximální ) digitů displeje                          2000

to je celkem δ = +/- 1,25 %

Celková relativní chyba proudu I v % :

                          rozsah přístroje                                200
δA = δ1 + δ2 • ———————— = 1,2 + 0,05 • ——— = + / - 1,28 %
                        naměřená hodnota                            125,4

Chyba voltmetru MP2 ( rozsah 20 V ):

δ1 = +/- 0,5 %

              udaný počet digitů posledního místa displeje                          1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
               celkový počet ( maximální ) digitů displeje                          2000

to je celkem δ = +/- 0,55 %

Celková relativní chyba napětí U v %:

                           rozsah přístroje                                20
δV = δ1 + δ2 • ———————— = 0,5 + 0,05 • ——— = + / - 0,56 %
                         naměřená hodnota                           15,56

Celková relativní chyba pro výkon:

δP = δA + δV = 1,28 + 0,56 = +/- 1,84 %

Pro vypočtený výkon lze ještě odvodit absolutní chybu ΔP :

              P                  1,95
ΔP = ——— • δP = ——— • 1,84 = + / - 35,9 mW
            100                 100

Příklad 2: použití volt – ampérové metody pro výpočet odporu rezistoru.

Pro tento příklad můžeme použít stejný obvod:

Přímým měřením jsme zjistili hodnoty proudu I a napětí U. Výsledný odpor rezistoru pak vypočítáme podle Ohmova zákona:

           U
R = ———
            I

Výslednou chybu opět odvodíme z chyb přímo změřených veličin.



I v tomto případě sečteme relativní chyby naměřených hodnot. Jako přístroje MP1 a MP2 jsme nyní použili multimetry M 890 G.
Naměřené hodnoty: I = 18,5 mA, U = 19,6 V.
                                          U         19,6
Vypočteme odpor – R = —— = ——— = 1054 Ω
                                           I        0,0185

Výrobce pro tyto přístroje udává:
DC napětí
Rozsah
 Chyba
 Rozlišení
200 mV
 +/- 0,5 % of rdg +/- 1 digit
 100 µV
2 V
 1 mV
20 V
 10 mV
200 V
 100 mV
100 V
 1 V

DC proud
Rozsah
 Chyba
 Rozlišení
200 µA +/- 0,8 % of rdg +/- 1 digit
 0,1 µA
2 mA
 1 µA
20 mA
 10 µA
200 mA
 +/- 1,2 % of rdg +/- 3 digit
 100 µA

Vypočteme relativní chyby měření proudu a napětí:

Chyba ampérmetru MP1:

δ1 = +/- 0,8 %

               udaný počet digitů posledního místa displeje                         1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
                celkový počet ( maximální ) digitů displeje                        2000

to je celkem δ = +/- 0,85 %

Celková relativní chyba proudu I v % :

                           rozsah přístroje                                20
δA = δ1 + δ2 • ———————— = 0,8 + 0,05 • ——— = + / - 0,854 %
                        naměřená hodnota                             18,5
 
Chyba voltmetru MP2:

δ1 = +/- 0,5 %

               udaný počet digitů posledního místa displeje                          1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
                celkový počet ( maximální ) digitů displeje                        2000

to je celkem δ = +/- 0,55 %

Celková relativní chyba napětí U v %:

                           rozsah přístroje                                20
δV = δ1 + δ2 • ———————— = 0,5 + 0,05 • ——— = + / - 0,551 %
                         naměřená hodnota                            19,6

Celková relativní chyba pro odpor:

δR = δA + δV = 0,854 + 0,551 = +/- 1,405 %

Pro vypočtený odpor rezistoru můžeme odvodit absolutní chybu ΔR :

              R                  1054
ΔR = ——— • δR = ——— • 1,405 = + / - 14,81 Ω
            100                 100

Příklad 3: použití volt – ampérové metody pro výpočet proudu.

Tento způsob používáme, jestliže je rezistor zapájený v obvodu.

Přímo změříme hodnotu napětí U. Hodnotu odporu rezistoru přečteme na tělísku součástky.

Výsledný proud vypočítáme podle Ohmova zákona:
          U
I = ———
          R

Chybu proudu vyčíslíme z chyby přímo změřeného napětí a údaje výrobce rezistoru.

Na vybraném rezistoru jsme změřili napětí multimetrem M 890 G.
Naměřená hodnota je: U = 12,55 V. Na rezistoru přečteme hodnotu odporu: R = 2200 Ω.



Ze zjištěných hodnot již můžeme vypočítat velikost proudu, který rezistorem protéká:

          U          12,55
I = ——— = ——— = 5,70 mA
          R           2200

Chybu ( parametry ) použitého multimetru pro měření stejnosměrného napětí již známe:

δ1 = +/- 0,5 %

              udaný počet digitů posledního místa displeje                          1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
               celkový počet ( maximální ) digitů displeje                         2000

to je celkem δ = +/- 0,55 %

Celková relativní chyba napětí naměřeného U v % tedy je:

                           rozsah přístroje                                20
δV = δ1 + δ2 • ———————— = 0,5 + 0,05 • ——— = + / - 0,58 %
                         naměřená hodnota                           12,55

Pro měřený rezistor výrobce udává relativní chybu: δR = 5 %

Z těchto údajů již můžeme vyjádřit relativní chybu vypočítaného proudu:

δI = δV + δR = 0,58 + 5 = 5,58 %

Nakonec vypočítáme ještě absolutní chybu proudu:

             I                  5,70
ΔI = ——— • δI = ——— • 5,58 = + / - 0,32 mA
          100                 100
    Jestliže získáme výslednou veličinu výpočtem měření dvou veličin jiných a ve vzorci je mocnina, je postup stejný, jen se relativní chyba příslušné veličiny násobí mocnitelem. Jestliže je ve vzorci odmocnina, je nutné převést odmocnitele na mocnitele a rovněž násobit hodnotu relativní chyby konkrétní veličiny.

Např. je-li: P = R • I2 => δP = +/- δR + 2 • δI ( % )


Příklad 4: Výpočet výkonové ztráty na rezistoru:


Použijme stejné hodnoty:

Tentokrát měříme proud ( I = 125,4 mA ), který teče známým rezistorem ( R = 124 Ω ).


Výkon rezistoru v obvodu je:

P = R • I2 = 124 . 0,1254 2 = 1,95 W





Měřicí přístroje: pro měření odporu i proudu byly opět použity multimetry DMM 3900.

DC proud

Rozsah
 Chyba
 Rozlišení
200 µA +/- 0,5 % of rdg +/- 1 digit
 0,1 µA
2 mA
 1 µA
20 mA 10 µA
200 mA
 +/- 1,2 % of rdg +/- 1 digit 0,1 mA
2 A
 +/- 2 % of rdg +/- 5 digit 1 mA

Odpor
Rozsah
 Chyba
 Rozlišení
200 Ω +/- 0,5% of rdg +/- 3 digit 0,1 Ω
2 kΩ +/- 0,5% of rdg +/- 1 digit 1 Ω
20 kΩ 10 Ω
200 kΩ 100 Ω
2 MΩ 1 kΩ
20 MΩ +/- 10% of rdg +/- 2digit 10 kΩ

Vypočteme nyní relativní chyby měření proudu a odporu:


Chyba ampérmetru MP1je pro tento rozsah:

δ1 = +/- 1,2 %

               udaný počet digitů posledního místa displeje                         1
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
                celkový počet ( maximální ) digitů displeje                        200
 
to je celkem: δ = +/- 1,25 %

Celková relativní chyba proudu v tomto obvodu - I v % :

                           rozsah přístroje                               200
δA = δ1 + δ2 • ———————— = 1,2 + 0,05 • ——— = + / - 1,28 %
                         naměřená hodnota                            125,4

Celková relativní chyba proudu v tomto obvodu - I v % :

                           rozsah přístroje                               200
δA = δ1 + δ2 • ———————— = 1,2 + 0,05 • ——— = + / - 1,28 %
                        naměřená hodnota                            125,4

Chyba multimetru na odporovém rozsahu:

δ1 = +/- 0,5 %

              udaný počet digitů posledního místa displeje                           3
δ2 = ———————————————————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,15 %
               celkový počet ( maximální ) digitů displeje                          2000

to je celkem: δ = +/- 0,65 %

Celková relativní chyba odporu rezistoru R v %:

                           rozsah přístroje                             200
δR = δ1 + δ2 • ———————— = 0,5 + 0,15 • —— = + / - 0,74 %
                         naměřená hodnota                           124

Celková relativní chyba pro výkon v tomto obvodu – protože vzorec obsahuje u jedné veličiny ( proudu ) 2 mocninu, násobíme tuto relativní chybu dvěma a sečteme:

δP = δR + ( 2 • δI ) = 0,74 + ( 2 • 1,28 ) = +/- 3,3 %

Pro vypočtený výkon určíme absolutní chybu ΔP :

             P                   1,95
ΔP = ——— • δP = ——— • 3,3 = + / - 64,35 mW
           100                 100

Z tohoto příkladu je patrné, mocnina celkovou relativní chybu podstatně zvětšuje.

Příklad 5: Další případ nastává, jestliže vyhodnocujeme přesnost měření jedné veličiny více přístroji. Při tomto měření vyhodnocujeme absolutní chyby všech přístrojů a výslednou chybu tvoří jejich součet. Tím se samozřejmě celková chyba měření zvyšuje.

V obvodu stejnosměrného proudu jsou zapojené 2 rezistory paralelně. V obou větvích obvodu měříme proud. Na pozici MP1 je analogový přístroj PU 500, měříme proud IR1 a na pozici MP2 je digitální multimetr CM 2703, který měří proud IR2.
Podle Kirchhoffova zákona je výsledný proud I jejich součet - I = IR1 + IR2.


Výsledky měření: IR1 = 85 mA, IR2 = 150 mA.

Celkový proud: I = IR1 + IR2 = 85 + 150 = 235 mA.




Při určení celkové absolutní chyby měření postupujeme:

    Pro přístroj MP1 PU 500 výrobce udává třídu 2,5, to znamená relativní chybu δ = +/- 2,5 %. Naměřili jsme hodnotu proudu 85 mA. Určíme absolutní chybu pro tuto hodnotu. Přístroj byl nastavený na rozsah 100 mA.

         δU • rozsah      2,5 • 100
ΔI = ————— = ———— = + / – 2,5 mA
              100                 100

U přístroje MP2 - CM 2703 – byl pro dané měření předvolený rozsah 400 mA.

Výrobce pro tento přístroj udává:

DC proud:
Rozsah:
 Chyba:
 Rozlišení:
400 µA +/- 1 % of rdg + 2 digit  0,1 µA
4 mA
 1 µA
40 mA 10 µA
400 mA
 100 µA
10 A
 +/- 1,2 % of rdg + 5 digit 10 mA

Po přepočítání tedy:

δ1 = +/- 1 %

             chyba ( digit )                         2
δ2 = ———————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,05 %
         počet digitů displeje                 3999

Absolutní chyba pro tento proud ( 150 mA ) tedy bude :

             naměřená hodnota                    hodnota rozsahu                   150                400
ΔI = ————————— • δ1 + ————————— • δ2 = ——— • 1 + ——— • 0,05 = 1,5 + 0,2 = +/- 1,7 mA
                       100                                        100                              100               100

Pro celkový proud I = 235 mA je tedy celková absolutní chyba součtem chyb obou měření:

ΣΔI = ΔIR1 + ΔIR2 = 2,5 + 1,7 = +/- 4,2 mA

Příklad 6: Další situace může nastat, jestliže výslednou hodnotu získáme odečtem. Pro názornost si vyhodnotíme měření napětí.


V obvodu jsou zapojené 2 rezistory do série. Podle Kirchhoffova zákona se celkové napětí rovná jejich součtu úbytků napětí na jednotlivých rezistorech.

UDC = UR1 + UR2

Pro náš příklad použijeme výpočet chyby napětí na rezistoru R1. Ke svorkám zdroje, napětí UDC, byl připojený analogový multimetr PU 500, napětí UR2 bylo měřeno digitálním multimetrem CM 2703.

Naměřen hodnoty: UDC = 10 V, UR2 = 6V   Napětí UR1 tedy bude: UR1 = UDC – UR2 = 10 – 6 = 4 V


Postup při určení celkové absolutní chyby:

U přístroje PU 500 je udána třída 2,5, to znamená δ = +/- 2,5 % pro všechny rozsahy. Přístroj byl přepnutý na rozsah 10 V.

Absolutní chyba má hodnotu:

              δU • rozsah       2,5 • 10
ΔUDC = ————— = ———— = + / – 0,25 V = +/- 250 mV
                   100                100

Přístroj MP2 - CM 2703 – byl pro měřené napětí předvolený rozsah 40 V.
DC napětí:
Rozsah:
 Chyba:
 Rozlišení:
400 mV
 +/- 0,8% of rdg + 2 digit 100 µV
4 V
 +/- 0,8% of rdg + 3 digit 1 mV
40 V
 10 mV
400 V
 100 mV
600 V
 1 V

Po přepočítání tedy:

δ1 = +/- 0,8 %

             chyba ( digit )                        3
δ2 = ———————— • 100 = ——— • 100 = +/- 0,075 %
         počet digitů displeje                3999

Absolutní chyba pro toto napětí ( 6V ) tedy je :


                naměřená hodnota                      hodnota rozsahu                      6                     40            
ΔUR2 = ————————— • δ1 + ————————— • δ2 =  ——— • 0,8 + ——— • 0,075 = 0,048 + 0,03 = 0,078 V = +/- 78 mV
                         100                                            100                             100                  100

Pro výsledné napětí, UR1 = 4 V, musíme vzít v úvahu celkovou absolutní chybu:   ΣΔUR1 = ΔUDC + ΔUR2 = 250 + 78 = +/- 328mV

zpět